大气热力学基础

理想气体状态方程

气象学上，空气可看作两种理想气体， 干空 气 和 水汽 的混合物，混合物称为湿空气。 由于理想气体中，独立的分子之间没有相互作用，因此湿空气热力学性质可看做干空气和水汽各自特性的共同作用。

理想气体状态方程，表述了热力平衡条件下，气体气压p，体积V和温度T之间的关系

\[pV = CT\]

上式中， C 为常数。在标准条件下（\(p=1.01325*10^{5} Pa, T=273K\)），简化上式，对1mol气体有，

\[pv = C'T, 其中C' = 8.314 J\bullet K^{-1}\bullet mol^{-1}\]

在标准条件下 \(C'\) 对于所有气体相同，因此称为通用气体常数，\(C'=R^*\) ，上式可写为

\[pv = R^*T\]

对于任意体积气体， \(V = nv\) ，其中 n 为摩尔数，上式两边同时乘以 n ，即得到任意体积理想气体状态方程

\[pV = nR^*T\]

将上式两边同时除以气体的质量 m ,可得

\[p\frac{V}{m} = \frac{R^*T}{\frac{m}{n}}\]

上式中，\(\frac{V}{m}=\frac{1}{m}=\alpha\) , 即为比容（specific volume of the gas），而 \(\frac{m}{n}=M\)，即气体的摩尔质量，定义比气体常数 \(R'=\frac{R^*}{M}\)，则可得到单位质量气体状态方程

\[ \begin{align}\begin{aligned}p = \rho R'T\\p\alpha = R'T\end{aligned}\end{align} \]

干空气状态方程

定义干空气的摩尔质量

\[M_d = \frac{\sum_{i} m_i}{\sum_{i} \frac{m_i}{M_i}}\]

上式中，分子为干空气中各成分总质量（g），分母为总摩尔数（mol），i 表示第i中气体成分。干空气摩尔质量约 为 \(28.9 g \bullet mol^{-1}\) ，因此可得干空气的比气体常数为

\[R_d = R'=\frac{R^*}{M_d}=\frac{8.314 J\bullet K^{-1}\bullet mol^{-1}}{28.9 g\bullet mol^{-1}}\approx 287 J\bullet K^{-1}\bullet kg^{-1}\]

代入可将干空气状态方程写为

\[p\alpha = R_dT\]

水汽的状态方程

依据理想气体状态方程，可得水汽状态方程

\[e = \rho_v R_v T\]

其中，e为水汽压， \(\rho_v\) 为水汽密度， \(R_v\) 为水汽比气体常数， \(\varepsilon=\frac{R_d}{R_v}=\frac{M_v}{M_d}=\frac{18}{28.9} \approx 0.622\) ，代入上式，水汽状态方程可改写为

\[e = \rho_v \frac{R_d}{\varepsilon}T\]

湿空气的状态方程

干空气和水汽的状态方程为别为

\[p = \rho_d R_d T e = \rho_v R_v T\]

由道尔顿分压定律可得

\[p = p_d + e = (\rho_d R_d + \rho_v R_v)T\]

定义

\[pR_m = \rho_d R_d + \rho_v R_v\]

则湿空气状态方程可写为

\[p = \rho R_m T\]

其中， \(\rho\) 为湿空气密度， \(R_m\) 为湿空气的比气体常数。

\[\begin{split}R_m &= R_d\frac{\rho_d}{\rho} + R_v\frac{\rho_v}{\rho}\\ &=R_d(\frac{\rho - \rho_v}{\rho} + \frac{R_v}{R_d}\frac{\rho_v}{\rho})\\ &=R_d(1-\frac{\rho_v}{\rho}+\frac{1}{0.622}\frac{\rho_v}{\rho})\\ &=R_d(1-q+\frac{1}{0.622}q)\\ &=R_d(1+0.608q)\end{split}\]

小结

• 干空气状态方程： \(p\alpha = R_d T\) ， \(R_d\) 为干空气比气体常数
• 湿空气状态方程： \(p\alpha = R_m T\) ， \(R_m\) 为湿空气比气体常数
• 干空气和湿空气比气体常数之间关系： \(R_m=(1+0.608q)R_d\) ， \(q\) 为比湿

热力学第一定律（first law of thermodynamics）

\[dQ = dU+dW\]

热力学第一定律为热力系统中的能量守恒定律，其表述为，施加在某一热力系统上的全部热量 \(dQ\) ，一部分使系统的内能增加 \(dU\) ，其余使气体对外做功 \(dW\) 。对于单位质量系统而言，上式写为

\[dq = du+dw\]

对准静态过程而言， \(dW=pdV\) ，单位质量气体有 \(dw=pd\alpha\)

等容过程

等容过程定义为气体在状态变化过程中，体积保持不变，即 \(d\alpha=0\) ，此时气体对外做功为0，即

\[dw=pd\alpha=0\]

对理想气体而言，内能来源于系统中分子的随机和无序运动，由于分子运动主要为温度的函数，内能的增加表现为温度升高。

\[du = c(p, \alpha) dT\]

其中， \(c(p, \alpha)\) 为比热，对气体而言，其不为常数。对等容过程而言，其热力学第一定律可写为

\[dq = du = c_v dT\]

上式中， \(c_v=\Big(\frac{dq}{dT}\Big)_\alpha\) 为定容比热。施加于气体的所有能量，一部分转化为内容，其余部分做功，能量守恒的一般形式可写为

\[dq = c_v dT + p d\alpha\]

对干空气状态方程 \(p\alpha = R_d T\) 进行微分，可得

\[pd\alpha + \alpha dP = R_d dT\]

代入前述能量守恒方程可得，

\[dq = c_v dT + R_d dT - \alpha dp\]

等压过程

当加热时气压保持不变，即 \(dp=0\) ，即等压过程，上式可写为

\[dq = c_v dT + R_d dT = (c_v + R_d) dT\]

定义 \(c_p = \big(\frac{dq}{dT} \big)_p = c_v + R_d\)，则热力学第一定律可表述为另一种形式

\[dq = c_p dT - \alpha dp\]

小结

使用定容比热和定压比热，大气热力学第一定律可表示为以下两种形式

\[ \begin{align}\begin{aligned}dq = c_v dT + p d\alpha\\dq = c_p dT - \alpha dp\end{aligned}\end{align} \]

绝热过程

绝热过程指在改变某个系统的物理状态（压强、体积或温度）时，如果既不加入热量，也不取走热量，这种变化称为绝热变化。 在绝热过程中，系统与环境间无热量交换，但可以有功的交换。即对绝热过程而言

\[ \begin{align}\begin{aligned}dq = 0\\c_v dT - -p d\alpha\\或 C_p dT = \alpha dp\end{aligned}\end{align} \]

注解

1. 严格的说，实际大气不是绝热的，空气运动时，能够通过湍流交换、辐射和分子热传导等与周围环境大气交换热量。
2. 对于运动着的空气，特别是做垂直运动时，由于气压随高度变化很快，气体温度短期内就发生很大变化，热量交换对空气温度的影响远小于由空气压缩或膨胀所造成的影响，此时可忽略热交换作用，假设气块是绝热的。
3. 在一些情况下，不可认作绝热。如：近地层大气，湍流交换强，气块从地面获得热量；平流层中，气块主要受辐射过程控制；当过程进行的时间较长，热量交换的累积效应不可忽略。

气块法

气块指在大气中任取一个体积微小的气块，称为空气微团，简称气块。气块是大气的一部分，初始状态与同高度上其它大气并无不同， 但当它在假设停滞不动的环境大气中垂直位移时，就成了独立的个别部分。由于气块体积微小，因此任一时刻，气体内部的状态参数都是均匀分布的，即气块在任一时刻都处于平衡态，故气体的状态方程和热力学第一定律对微小气块都适用。

气块法有如下假定：

1. 绝热条件：气块始终保持独立完整，不与周围空气混合，升降中做绝热变化。气块与外界（环境大气）始终不发生热量交换，也无质量交换。
2. 准静态条件：升降运动中的任一时刻，气块的压强（ \(p_i\) ）与同高度的环境空气的压强（ \(p_e\) ）相等。
3. 静力平衡条件：环境空气（气层）是静止的，满足 \(\frac{\partial p_e}{\partial z} = -\rho_e g\) 。

干绝热过程

干绝热过程是指干空气在状态变化（ \(p, v, T\) ）过程中与外界既无热量交换也无质量交换的过程。对于未饱和湿空气来说，只要上升过程中未达到饱和，其状态变化也基本服从于干绝热过程。

干绝热方程

将干空气状态方程 \(p\alpha = R_dT\) 代入绝热过程条件 \(C_p dT = \alpha dp\) 可得

\[c_p dT = \frac{R_d T}{P} dp\]

设气块的初始状态压强为 \(p_0\) ，温度为 \(T_0\) ，终止状态气压为 \(p\) ，温度为 \(T\) ，对上式进行积分

\[ \begin{align}\begin{aligned}\int_{T_0}^{T} \frac{dT}{T} = \int_{p_0}^{p} \frac{R_d}{c_p} \frac{dP}{P} \Rightarrow In T \arrowvert_{T_0}^{T}=\frac{R_d}{c_p} In p \arrowvert_{p_0}^{p}\\可得，\\In\big( \frac{T}{T_0}\big) = In\big(\frac{p}{p_0} \big)^{\frac{R_d}{c_p}}\\即，\\\big( \frac{T}{T_0}\big) = \big(\frac{p}{p_0} \big)^{\kappa}\end{aligned}\end{align} \]

其中， \(\kappa=\frac{R_d}{c_p}=\frac{c_p-c_v}{c_p}=\frac{1004-717}{1004} \approx 0.286\) ，上式即为干绝热方程，也称泊松方程。其可推论以下情形：

• 干绝热过程中，气压改变是温度变化的直接原因
• 干绝热下沉，气压升高，温度增加
• 干绝热上升，气压降低，温度减小

位温

气块做绝热运动时，其温度随气压的改变而改变，这就为辨别气块原来的热状态带来了困难。此外，在不同气压下比较两个空气的热状态，也不能单纯的比较温度，因为还收到气压的影响，即使初始热状态相同的气块，干绝热上升到不同的而高度，温度也是不同的。为了判别气块原有的热状态，及比较两个不同气块的热状态，必须将气块订正到气压相同的情况下进行追踪和比较。基于上述原因，引入位温的概念。

位温 定义为，气块按干绝热过程移至标准气压（ \(p_00=1000hPa\) ）时气块所具有的温度，又称位置温度，常用绝对温度（K）表示。

将气块原来的气压 \(p\) 和温度 \(T\) ，以及标准气压 1000hPa 代入泊松方程 ，可得到位温表达式

\[\begin{split}\left\{ \begin{array}{lr} T_0 = \theta\\ p_0 = 1000 hPa\\ \big( \frac{T}{T_0}\big) = \big(\frac{p}{p_0} \big)^{\kappa} \end{array} \right. \Rightarrow \theta=T(\frac{1000}{p})^{\kappa}\end{split}\]

注解

1 位温守恒的性质

对位温表达式求对数后可得，

\[In \theta = In T + \kappa (In 1000 - In p)\]

继续对上式求微分

\[\frac{d\theta}{\theta} = \frac{dT}{T} - \frac{R_d}{c_p}\frac{dp}{p}\]

改写热力学方程 \(dq = c_p dT - \alpha dp\) 为

\[dq = c_p dT - R_d T \frac{dp}{p}\]

上式两边同时除以 \(\frac{1}{c_p T}\) ，可变换为

\[\frac{dq}{c_p T} = \frac{dT}{T} - \frac{R_d}{c_p} \frac{dp}{p}\]

结合位温变换式和热力学方程变换式，可得

\[\frac{d\theta}{\theta} = \frac{dq}{c_p T}\]

上式表明，位温的变化由热量变化造成。当气块得到热量时，位温升高，放出热量时，位温降低，但在绝热条件下，位温保持不变。这表明，位温在干绝热过程中是守恒的。 通过位温的变化，可以判断气块是否与外界发生了热交换。

2 熵

依据热力学第二定律，在可逆过程中，熵的变化满足

\[ds = \frac{dq}{T}\]

根据位温变化表达式 \(\frac{d\theta}{\theta} = \frac{dq}{c_p T}\) 可建立熵和位温之间的关系

\[ds = c_p \frac{d \theta}{\theta}=d(c_p In\theta)\]

即，

\[s = c_p In \theta + 常数\]

上式表明，位温越高，熵越大，在干绝热过程中，位温和熵都是守恒量。因此，干绝热过程也是等熵过程。在天气分析中，常用等位温线（等熵线）和等熵面（等位温面）来描述大气绝热过程中的热力状态。

干绝热递减率

干绝热递减率定义为干空气块和未饱和湿空气块做绝热升降运动时，气块温度随高度的变化。具体计算方式为，气块绝热上升或下沉单位距离（通常为100m），温度降低或升高的数值，用符号 \(\gamma_d\) 表示，记为

\[\gamma_d = -\frac{dT_i}{dz}\]

由于绝热（满足气块假定1），且气块且气块满足热力学第一定律，方程 \(c_p dT = \frac{R_d T}{P} dp\) 可写为

\[\frac{T_i}{T_i} = \frac{R_d}{c_p} \frac{dp_i}{P_i}\]

同时，由于其满足准静力平衡条件（气块假设2），即任意时刻都有气块气压等于环境气压 \(p_i=p_e\) ，所以有 \(p_i+dp_i=p_e+dp_e\) ，上式可改写为

\[\frac{T_i}{T_i} = \frac{R_d}{c_p} \frac{dp_e}{P_e}\]

将静力平衡条件 \(\frac{dp_e}{dz} = -\rho_e g\) （气块假设3）和状态方程 \(p_e=\rho_e R_d T_e\) 代入上式可得，

frac{dT_i}{T_i} = frac{R_d}{c_p} Big(frac{-rho_e g dz}{rho_e R_d T_e}Big)=-frac{g}{c_p T_e}dz

即，

\[\frac{T_i}{dz} =-\frac{gT_i}{c_p T_e}\]

由于气块温度约等于环境温度 \(T_i \approx T_e\) ，因此有

\[\gamma_d = -\frac{dT_i}{dz} \approx \frac{g}{c_p}=\frac{9.81 m s^{-2}}{1004 J kg^{-1} K{-1}}=0.98^{\circ} C /100m\]

注解

实际工作中取 \(\gamma_d=1^{\circ} C /100m\) 。干绝热递减率 \(\gamma_d\) 是气块做干绝热升降运动时， 气块 本身温度随高度的变化率，近似可可看做常数。而气块四周环境空气（ 气层 ）的温度随高度的变化率（垂直温度递减率），可以从探空测得，其定义为 \(\gamma =\frac{\partial T}{\partial z}\) ，是一个局地变化量，其值可以大于 \(\gamma_d\) 也可以小于等于 \(\gamma_d\) ，并随高度变化，不为常数。

干绝热线

状态曲线 ： 气块 在作垂直运动时，其温度随高度的变化曲线称为状态曲线 干绝热线 ：干绝热过程的状态曲线称为干绝热线 湿绝热线 ：湿绝热过程的状态曲线称为湿绝热线 层结曲线 ： 环境空气 温度随高度的分布曲线称为层结曲线

由于干绝热过程中位温和熵守恒的性质，干绝热线又称为等位温线或等熵线，在温度对数压力图中未黄色斜的实线，每间隔 \(10^{\circ} C\) 标出位温的值（其后括号内的值为高层250-50hPa坐标用），它表示干空气或未饱和湿空气在绝热升降过程中的状态变化曲线。

由于一条干绝热线也是等位温线，根据位温式 \(\theta=T(\frac{P_{00}}{p})^{\kappa}\) ，对任一等 \(\theta\) 线而言，其上温度 T 和气压 P 之间的关系为

\[In \bigg(\frac{P_{00}}{p}\bigg) = -\frac{c_pd}{R_d}(InT-In\theta)\]

上式为T-InP图上的等 \(\theta\) 线方程，上式对温度求偏导，可得到等 \(\theta\) 线的斜率为

\[\Bigg(\frac{\partial In \Big(\frac{p_00}{p}\Big)}{\partial T}\Bigg) = -\frac{c_pd}{R_dT}\]

在通常的气温范围内， \(\frac{1}{T}\) 近似为常值，因此T-InP图上的干绝热线可以近似的看成是直线，向左上方倾斜。等 \(\theta\) 线与 \(p_00=1000hPa\) 线的交点温度 \(T_00\) 线与位温相等，因此 \(T_00\) 就是等 \(\theta\) 线 所表的位温值。

湿绝热过程

湿度参数

水汽压

水汽压 ：依据道尔顿分压定律，混合气体所施加的总压强，等于混合气体中的每一种气体，当它单独充满混合气体总体积时产生的压强之和。将空气看成由多种分子组成的混合气体，其中水汽的分压强称为水汽压。

饱和水汽压

假设有一封闭的绝热容器，内部装有温度为 T 的纯水，假设最初容器中的空气是完全干燥的，因此水将开始蒸发，在蒸发过程中，容器中的水汽分子数目增加，水汽压也增加。当水汽压增加时，由汽相凝结返回液相的水汽分子也增加。这样水体表面的液体分子，有的离开水面成为水汽分子，有的水汽分子撞击水面，并被水面吸附为液态。凝结和蒸发同时发生，如果凝结率低于蒸发率，那么该容器中的空气在温度 T 时是未饱和的。当凝结和蒸发达到同一速率时，将处于平衡状态。此时空气和水汽的温度等于液态水的温度，且没有水分子从一个相区转移到另一个相区去的净变化，此时液面上空的空气便处于饱和状态，这种情况下的水汽分压就称为饱和水汽压。饱和水汽压就是平衡水汽压，即对于平纯水面而言，凝结率等于蒸发率。

注意

当我们说到“空气中的水汽是饱和的”，“空气中不能持有更多的水汽”，及“暖空气可以比冷空气持有更多的水汽”时，使人误解为空气像海绵一样吸收水汽。液相和汽相之间水分子的交换与空气的存在与否无关，更严格的说，当在某一给定温度下，水汽和液水处于平衡时，由水汽施加的压强称为“平衡水汽压”，比称为在此温度下的饱和水汽压更合适，但是由于“未饱和空气”和“饱和空气”这些表达已经根深蒂固，所以继续沿用。

饱和水汽压仅与温度有关，即 \(e_s=e_s(T)\) 。饱和水汽压 \(e_s\) 随温度 T 的变化关系可用卡劳修斯-克拉贝龙方程（Clausius-Clapeyron equation）来描述

\[\frac{de_s}{dT} = \frac{\phi_2 - \phi_1}{\alpha_2 - \alpha_1}=\frac{L_v}{T(\alpha_2 - \alpha_1)}\]

其中， \(\phi_1\) 和 \(phi_2\) 为熵， \(\alpha_1\) 和 \(alpha_2\) 为比容，下标2表示气态，下标1表示液态， \(L_v\) 为汽化潜热。在一般的大气条件下， \(\alpha_2 >> \alpha1\) 。因此上式可简化为

\[\frac{de_s}{dT} =\frac{L_v}{T\alpha_2}=\frac{L_v e_s}{R_v T^2}\]

实验测得 \(L_v\) 是 \(T\) 的近似线性递减函数，可以写为

\[L_v = L_v0 - b R_v (T - T_0)\]

上式中 \(T_0 = 273.15K\) ， \(T_0\) 对应的汽化潜热为 \(l_0=2500.8*10^3 J kg^{-1}\)，实验常数 \(b=4.9283, bR_v=2274.4 J kg^{-1} K^{-1}\) ，代入上式到前式可得

\[\frac{de_s}{dT} \approx \frac{e_s}{R_v T^2} [L_v0 - b R_v (T-T_0)]\]

令 \(a=(L_v0 + v R_v T_0)/R_v=6764.9 K\) ，对上式从 \(T_0=273.15 K\) 和 \(e_s0=6.11 hPa\) 积分可得，

\[In \frac{e_s}{e_{s0}} = a \Big(\frac{1}{T_0} - \frac{1}{T} \Big) + vIn \frac{T_0}{T}\]

整理可得，

\[In e_s + \frac{a}{T} + b In T = 常数\]

水汽密度

水汽密度 \(\rho_v\) 指单位体积湿空气中所含水汽的质量，为绝对湿度参量

混合比

混合比 \(w\) 指一定体积湿空气中，水汽质量 \(m_v\) 与干空气质量 \(m_d\) 之比，即，

\[w = \frac{m_v}{m_d}\]

混合比常用 1kg 湿空气中水汽的克数表示，故常用单位 （g/kg）。如果既无凝结也无蒸发（水汽质量不变），则气块的混合比为常数。

对于温度为 T ，气压为 p 的湿空气而言， \(\rho_v=\frac{e}{R_v T}， \rho_d=\frac{p-e}{R_d T}\) ，分别是水汽和干空气的分密度，则混合比可表达为

\[w = \frac{m_v}{m_d}=\frac{m_v / V}{m_d / V}=\frac{\rho_v}{\rho_d}=\frac{e}{p-e} \frac{R_d}{R_v}=\epsilon \frac{e}{p-e}\]

上式中， \(\epsilon \approx 0.622\) ，由于水汽压很小，与总压强相比可以忽略，即 \(p>>e\) ，因此上式可简化为

\[w \approx \epsilon \frac{e}{p}\]

饱和混合比

饱和混合比 \(w_s\) 为相对于平纯水面饱和的一定体积空气中，水汽质量 \(m_vs\) 与干空气质量 \(m_d\) 之比，即

\[w_s = \frac{m_{vs}}{m_d}=\frac{m_{vs} / V}{m_d / V}=\frac{\rho_{vs}}{\rho_d}=\frac{e_s}{p-e_s} \frac{R_d}{R_v}=\epsilon \frac{e_s}{p}\]

比湿

比湿 \(q\) 为单位质量湿空气内的水汽质量，常用单位为 g/kg ，或 :math: 10^{-3} kg/kg ，为绝对湿度参量，表达式为

\[q = \frac{m_v}{m}=\frac{m_v/m_d}{(m_v+m_d)/m_d}=\frac{w}{1+w}\]

上式表明了比湿和混合比之间的关系，由于混合比 \(w\) 的量级只有百分之几， \(w<<1\) ，所以比湿在数值上约等于混合比，即 \(q \approx w\) 。

与混合比类似，比湿也可以表达为水汽压的形式，如下

\[q = \frac{m_v}{m}=\frac{m_v/V}{(m_v+m_d)/V}=\frac{\rho_v}{\rho_d + \rho_v} = \epsilon \frac{e}{p-(1- \epsilon)e}\]

上式中由于 \(p>>e\) ，所以有，

\[q \approx \epsilon \frac{e}{p}\]

可见比湿与体积无关。

饱和比湿

饱和比湿用 \(q_s\) 来表示，将 \(e_s=e_s(T)\) 代入比湿表达式可得饱和比湿表达式为，

\[q_s = \epsilon \frac{e_s}{p - (1 - \epsilon)e_s}=\frac{0.622e_s}{p-0.378e_s}\]

由于饱和水汽压 \(e_s\) 只与温度有关，因此饱和比湿 \(q_s\) 为气压 q 和温度 T 的函数，与空气中的水汽含量无关。

上式可改写为，

\[p = \frac{(0.622 + 0.378q_s)}{q_s} e_s\]

其等价形式为，

\[ \begin{align}\begin{aligned}In p = In e_s + In(0.378 + 0.622/q_s)\\In\frac{p_0}{p} = - In e_s + In (\frac{p_0}{0.378+0.622/q_s})\end{aligned}\end{align} \]

根据饱和水汽压关系式， \(In e_s + \frac{a}{T} + b InT = 常数\) ，可将上式改写为，

\[In\frac{p_0}{p} = \frac{a}{T} + b InT + In(\frac{p_0}{0.378 + 0.622/q_s}) - 常数\]

上式即为T-InP图上等饱和比湿 \(q_s\) 线的方程，上式对温度取偏导 \((\frac{\partial}{\partial T})_{q_s}\) ，可得等饱和比湿 \(q_s\) 线的斜率为，

\[\Bigg(\frac{\partial In \frac{p_0}{p}}{\partial T} \Bigg)_{q_s} = - \frac{a}{T} \Big(\frac{1}{T} - \frac{b}{a} \Big)\]

在大气常温范围内，以 K 为单位的 \(T < a/b\) ，即 \(1/T > a/b\) ， \(1/T\) 的变化范围很小，可以近似看成常量。因此，在任一条等 \(q_s\) 线上， \(In \frac{p_0}{p}\) 是温度 T 近似的递减函数，从而任一等 \(q_s\) 线是向左上方倾斜的近似直线。

在近似情况下， \(q \approx \epsilon \frac{e_s}{p} \approx w_s\) ，因此等饱和比湿线也是等饱和混合比线。

注解

饱和水汽压 \(e_s\) 只和温度有关，饱和混合比 \(w_s\) 和饱和比湿 \(q_s\) 都只与气压和温度有关，与空气中的水汽含量无关。

露点

露点 \(T_d\) 为不改变气压 \(p\) 和 混合比 \(w\) （既无凝结也无蒸发）的情况下，湿空气冷却到相对于平纯水面而言达到饱和时的温度， \(T_d <= T\) 。在露点温度下，湿空气的混合比等于饱和混合比，即 \(w=w_s\) 。

相对湿度

相对湿度 \(RH\) 为混合比与相应的饱和混合比之比，以百分率表示，

\[RH = 100 \frac{w}{w_s} \approx 100 \frac{e}{e_s}\]

基于露点 \(T_d\) ，相对湿度可表达为，

\[RH = 100 \frac{w_s (温度为T_d，压强为p) }{w_s (温度为T，压强为p)}\]

对于 \(RH > 50%\) 的湿空气来说， \(RH\) 转换为露点温度差 \(T - T_d\) 的一个简单规则是，相对湿度每减少 5%，露点温度降低约 1度。

注解

相对湿度和温度露点差反映了空气距离饱和的程度。

抬升凝结高度 (LCL)

抬升凝结高度指未饱和湿空气绝热抬升至相对于平纯水面饱和时所达到的高度。

未饱和湿空气被外力强迫抬升时，因为上升速度快，可以认为是绝热的。湿空气在绝热抬升过程中，一开始经历的是干绝热过程，水汽没有凝结也没有外界水汽的补充，因此比湿 q 、混合比 w 和位温 \(\theta\) 保持不变，但饱和比湿却在逐渐变小。当饱和比湿的值降到与气块比湿相等时，气块呈饱和状态。在一般情况下，达到饱和状态时就可开始凝结，把未饱和湿空气绝热上升到刚达到饱和状态时的高度，称为凝结高度，用 \(z_c\) 表示。由于气块上升主要是由于抬升作用引起，因此又称为抬升凝结高度。在此高度上，气块的温度等于露点温度。

潜热

温度不发生变化，物质发生相变时吸收或放出的热量称为“潜热”。物质由低能状态转变为高能状态时吸收潜热，反之放出潜热。例如，液体沸腾时吸收的潜热一部分用来克服分子间的引力，另一部分用来在膨胀过程中反抗大气压强做功。溶解热，汽化热、升华热都是潜热。潜热的量值常常用单位质量的物质或用每摩尔物质在相变时所吸收或放出的热量来表示。

汽化或蒸发潜热定义为单位质量物质由液相转化为汽相而温度不变时所需要的热量。对于水来说， 1 atm 和 \(1 ^{\circ} C\) ，汽化潜热为 2.25*10 **6 J kg-1 。在相同的压力和温度下，凝结潜热和蒸发潜热相等，表示从汽相变化液相时所释放的热量。注意在不同压力和温度，汽化潜热的值是不同的。

汽化潜热随温度升高而减小，因为在较高温度下液体分子具有较大动能，液相与汽相差别减少。在临界温度下，物质处于临界态，气相和液相差别消失，汽化热为零。

饱和湿空气的绝热过程

当一未饱和湿空气上升时，其温度变化遵循干绝热递减率，随高度而减低，当达到抬升凝结高度后变化饱和湿空气。进一步上升将凝结出液态水（或凝固出冰晶），并释放潜热。

下面讨论饱和湿空气块在绝热上升过程中可能出现的两种极端情形。

可逆湿绝热过程

气块绝热上升时产生的凝结物全部留在气块内，随气块一起上升，当气块从上升运动转为下降时，绝热增温引起水滴蒸发，以维持气块的饱和状态。由于气块上升过程中水汽凝结释放的潜热与气块绝热下降过程水滴蒸发吸收的潜热相等。因此，气块绝热上升时的减温率和气块绝热下降时的增温率相等。该过程是可逆的，称为可逆湿绝热过程。在这种情况下只有云而无降水。

假绝热过程

气块上升时所产生的全部凝结物立即掉出气块，这样当气块从上升转为下沉时，绝热增温使得气块呈不饱和状态。由于气块上升过程是湿绝热过程，下沉时为干绝热过程，因此当气块下降到原来起始高度时，温度比原来的高。该过程是不可逆的。而且，由于凝结物脱离了气块，气块与外界发生了能量交换，不是严格绝热的。因此认为气块经历了一次假绝热过程。这种极端情况全是降水而没有云。焚风是假绝热过程的例子。

注解

实际大气中发生的湿绝热过程，介于可逆湿绝热过程和假绝热过程之间，即部分凝结物脱离气块，部分凝结物留在气块内随气块上升，这相当于既有云也有降水的情况。

湿绝热垂直减温率

饱和湿空气上升或下降单位距离（常取100m）温度降低或升高的数值，称为湿绝热垂直减温率或湿绝热直减率，以 \(\gamma_s\) 表示。

取 1kg 饱和湿空气，其中含有 \(q_s kg\) 含水量， \(1-q_s kg\) 的干空气。设在起始高度 z 处，压强为 \(p_i\) ，温度为 \(T_i\) ，饱和比湿为 \(q_s\) ，上升到 \(z+dz\) 高度处，压强变为 \(p_i + dp_i\) ，温度为 \(T_i + dT_i\) ，饱和比湿为 \(q_s + dq_s\) ，凝结出 \(dq_s kg\) 的水，放出潜热 \(L dq_s\) 。

在静力平衡条件下， \(p_i = p_e\) ， \(p_e\) 为起始高度气块环境空气 的压强，则有

\[p_i + dp_i = p_e + dp_e\]

根据热力学第一定律 \(dq = c_p dT - \alpha dp\)，及 \(dq = -L_v dq_s\) ，可得，

\[c_{pm} dT_i - R_m T_i \frac{dp_e}{p_e} = -Lv dq_s\]

上式中， \(c_{pm} = c_p (1 + 0.84q_s)\) 为湿空气的定压比热， \(R_m = R_d (1 + 0.608q_s)\) 为湿空气的比气体常数，由于 \(q_s<<1\) ，一般可取 \(c_{pm} \approx c_p\) ， \(R_m \approx R_d\) ，因此上式可改写为，

\[dT_i = \frac{R_d T_i}{c_p} \frac{dp_e}{p_e} - \frac{L_v dq_s}{c_p}\]

因为环境空气满足 \(\frac{dp_e}{dz} = - \rho_e g\) 和 \(p_e = \rho_e R_d T_e\) ，二者结合即有

\[\frac{dp_e}{p_e} = - \frac{g}{R_d T_e}dz\]

将上式代入前式可得，

\[dT_i = \frac{R_d T_i}{c_p} \Big(- \frac{g}{R_d T_e}dz \Big) - \frac{L_v dq_s}{c_p} = \frac{g T_i}{c_p T_e} dz - \frac{L_v dq_s}{c_p}\]

可以近似地认为 \(\frac{T_i}{T_e} \approx 1\) ，可得湿绝热直减率表达式

\[\gamma_s = -\frac{dT_i}{dz} = \frac{g}{c_p} + \frac{L_v}{c_p} \frac{dq_s}{dz}\]

从上式也可得到湿绝热直减率和干绝热直减率间的关系为，

\[\gamma_s = \gamma_d + \frac{L_v}{c_p} \frac{dq_s}{dz}\]

当饱和湿空气上升时， \(dz > 0\) ， 发生凝结 \(dq_s < 0\) ，因此 \(\frac{L_v}{c_p} \frac{dq_s}{dz} < 0\) ，即表明此情况下湿绝热直减率小于干绝热直减率 \(\gamma_s < \gamma_d\) 。

湿绝热直减率 \(\gamma_s\) 不是常数，而是由压强和温度共同决定。其数值范围，在 \(\frac{dq_s}{dz}\) 很大的近地面暖湿空气团中，饱和气块温度下降较慢，约为 \(0.4^{\circ} C /100m\) ，在对流层中部代表性数值是 \(0.6 ~ 0.7^{\circ} C /100m\) 。在干冷的对流层上部，由于湿度小，凝结影响可以忽略，此时湿绝热直减率几乎与干绝热直减率相等 \(\gamma_s \approx \gamma_d\) ，在T-InP图上表现为，湿绝热线（绿色虚线）向上发散并趋向于与干绝热线平行。

假相当位温

在干绝热过程中，位温守恒，但是在湿绝热过程中，由于潜热释放（或蒸发耗散），位温不守恒。为了既考虑气压的影响，又考虑潜热的影响，可引入假相当位温 \(\theta_{se}\) 和假湿球位温 \(\theta_{sw}\) 的概念。 \(\theta_{se}\) 和假湿球位温 \(\theta_{sw}\) 在干湿过程中都守恒，所以用途比位温更加广泛，常用它们分析气团、锋和气层的稳定性。

湿绝热上升到水汽全部凝结降落后，再沿着干绝热线下降到 1000 hPa 时所具有的温度称为假相当位温 \(\theta_{se}\) （欧美国家称为相当位温 \(\theta_{e}\) ）。

假设未饱和湿空气块在起始高度上的气压、温度、比湿、露点分别为 \(p, T, q, T_d\) ，先按干绝热过程上升到抬升凝结高度 \(z_c\) ，此时温度为 \(T_c\) ，比湿为 \(q_c = q_s = q\) ，位温为 \(\theta_c = \theta = T \Big(\frac{1000}{p}\Big)^{\kappa}\) 。然后该饱和气块从凝结高度 \(z_c\) 按湿绝热线继续上升，直到所含的水汽全部凝结，并脱离气块时，比湿 \(q=0\) ，位温 \(\theta=\theta_{se}\) 。按照位温微分式,

\[\frac{d\theta}{\theta} = \frac{dq}{c_p T}\]

将湿绝热过程相变潜热变化， \(dq = -L_v dq_s\) 代入上式，则有，

\[\frac{d\theta}{\theta} = -\frac{L_v q_s}{c_p T} d \Big(\frac{q_s}{T}\Big)\]

由于在湿绝热过程中，气块的饱和比湿 \(q_s\) 的变化远大于 \(L_v\) 和 \(T\) ，上式可以近似写为，

\[\frac{d\theta}{\theta} = -\frac{L_v}{c_p} d \Big(\frac{q_s}{T}\Big)\]

如果气块在 \(z_c\) 处的状态为 \((\theta, q_s)\) ，经假绝热过程后的状态为 \((\theta_s, 0)\) ，将上式从 \(z_c\) 积分到完全凝结完的高度，有

\[\theta_{se} = \theta \cdot exp \Big(\frac{L_v q_s}{c_pT_c} \Big)\]

由上式可知，假相当位温 \(\theta_{se}\) 不仅考虑了气压对温度的影响，也考虑了水汽对温度的影响。所以，\(\theta_{se}\) 在干湿绝热过程中都是守恒的。一般求假相当位温，并不要求气块真正的经历上述假绝热过程，而是假想它经历了上述过程，然后求值。

湿绝热线

因为假相当位温 \(\theta_{se}\) 在湿绝热过程中守恒，因此湿绝热线也称为假相当位温线。

假湿球位温

湿空气按干绝热上升，达到抬升凝结高度后遵循湿绝热过程下降到 1000 hPa 时所具有的温度称为假湿球位温:math:theta_{sw} 。 一般求 \(\theta_{sw}\) 并不要求气块真正的经历湿绝热过程下降到 1000 hPa ，而是假想它经历了上述过程，即假想气块在下降时由外界补充水分以供蒸发，使得气块始终保持饱和状态，其目的是最大限度的考虑蒸发耗散对气块温度的影响。 \(\theta_{se}\) 在干湿绝热过程中都是守恒的。